FUNÇÃO EXPONENCIAL

Toda função definida nos reais, que possui uma lei de formação com características iguais a f(x) = a^x, com a número real a > 0 e a ≠ 1, é denominada função exponencial. Esse tipo de função serve para representar situações em que ocorrem grandes variações, é importante ressaltar que a incógnita se apresenta no expoente. As funções exponenciais se classificam em crescentes e decrescentes, de acordo com o valor do termo indicado por a.

Função exponencial crescente – (a > 1) 

Uma função exponencial é crescente quando o termo numérico representado por a for maior que um. Observe os domínios, as respectivas imagens e o gráfico da função
f(x) = 3^x:

Função exponencial decrescente – (0 < a < 1) 

As funções exponenciais decrescentes possuem o valor de a entre 0 e 1. Observe a tabela de valores pertencentes à função f(x) = (1/2)^x e seu respectivo gráfico:

Nas exponenciais podemos observar características comuns aos dois tipos de funções:

? O gráfico não intercepta o eixo horizontal, portanto, a função não tem raízes.
? O gráfico corta o eixo vertical no ponto: x = 0 e y = 1.
? Os valores da ordenada (y) são sempre positivos, dessa forma o conjunto imagem constitui os números reais positivos com ausência do zero.

Por Marcos Noé

ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Determinar o sinal de uma função do 2º grau: f(x): ax² + bx + c (a, b e c reais com a diferente de 0 (zero)) são estudados por meio de análises do coeficiente a e de delta 

Quando  f(x) >0,         f(x) = 0     ou      f(x) < 0

1º Iguala a função a zero, e  calcule-se as raízes ou zeros da função.

2º Marca na reta numérica as raízes encontrada.

3º Fora das raízes tem o mesmo sinal do coeficiente de a. E dentro, isto é, entre as raízes a função terá sinalcontrário ao coeficiente de a.

Exemplos:

1) Estude o sinal da função: y= x² – 7x + 12

Igualando a função a zero: x² – 7x + 12 = 0

Resolvendo a equação: 

Estudo dos sinais:

++++ + - - - - - -  + + + +

            3             4

Se x<3 ou x>4, então f(x)>0

se 3 < x < 4, então f(x) <0

se x=3 ou x=4, então f(x)=0

2) Estude o sinal da função: y= -x² + 5x + 6

Igualando a função a zero: -x² + 5x + 6 = 0

Resolvendo a equação:

Estudo dos sinais:

- - - - - -  + + + + + + - - - - - - -

             -1                 6

f(x)=0 para x = -1 ou x = 6

f(x) > 0 para x < -1 ou x > 6

f(x) < 0 para -1 < x < 4

3) Estude o sinal da função: y= x² - 4x + 4

Igualando a função a zero: x² - 4x + 4 = 0

Resolvendo a equação:

Estudo dos sinais:

+ + + + + +  .  + + + + + +

                    2           

f(x)=0 para x = 2

f(x) > 0 para x diferente de 2

f(x) nunca será negativa

RESUMO

Quando o coeficiente de a for positivo, isto é, a>0

Quando o coeficiente de a for negativo, isto é, a<0

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Sinal da função Afim

Dispositivo para estudo do sinal da função afimNo estudo do sinal da função afim, buscamos os intervalos nos quais a função possui certas características. Lembrando que os valores das funções dependem unicamente da sua variável e da sua lei de formação.

A forma geral de uma função do 1º grau dá-se da seguinte maneira:

Teremos duas situações a serem analisadas, quanto ao sinal dessa função.

a > 0: Função crescente.

Temos que o valor para x=r consiste na raiz da função, ou seja, no zero da função. Partindo desse zero podemos analisar os dois possíveis sinais de uma função (positivo e negativo).

Note no gráfico que:

Caso você não queira construir todo o gráfico, basta encontrar o zero da função e analisar o sinal da função na reta dos reais da variável x. Para isso, use o dispositivo prático, mostrado a seguir:

Note que os sinais (positivo e negativo) representam o valor da função naqueles intervalos (x>r e x<r).

a < 0: Função decrescente.

Na função decrescente, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y (ou f(x)), ou seja, o valor da função decresce conforme o valor da variável x aumenta. Sendo assim, a análise do sinal da função será diferente.

Vejamos a representação gráfica de uma função decrescente:

Analisando o gráfico, temos que:

Pelo dispositivo prático, temos:

Portanto, basta saber se a função é crescente ou decrescente, fato este determinado pelo sinal do coeficiente a, e depois determinar o zero da função. Com isso o estudo do sinal fica fácil.

Compreender esse estudo dos sinais é importante não apenas para as funções no geral, mas também para a determinação do conjunto solução das inequações.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira

potenciação

Podemos dizer que potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais, se temos a seguinte multiplicação: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, podemos representá-la usando a potência 2⁶, onde 2 é a base e 6 o expoente (Leia: dois elevado a sexta potência).

O expoente possui um papel fundamental na potenciação, pois ele é quem define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Observe:

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
4² = 4 x 4 = 16
5³ = 5 x 5 x 5 = 125
10² = 10 x 10 = 100
12² = 12 x 12 = 144
3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
6³ = 6 x 6 x 6 = 216

Casos de potenciação

Todo número diferente de zero e elevado a zero é um.
2⁰ = 1
3⁰ = 1
10⁰ = 1
4⁰ = 1
125⁰ = 1

Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número.
2¹ = 2
3¹ = 3
15¹ = 15
20¹ = 20
12¹ = 12

Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero.
0⁵ = 0
0¹² = 0
0¹⁰⁰ = 0
0⁷ = 0
0²⁵ = 0

Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo.
(-3)³ = (-3) x (-3) x (-3) = -27
(-4)⁵ = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = -1024
(-2)⁷ = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -128

Base negativa e expoente par, resultado positivo.
(-2)⁴ = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = + 16
(-6)² = (-6) x (-6) = + 36
(-7)² = (-7) x (-7) = + 49

Base é um número racional (fração): devemos elevar ao expoente indicado o numerador e o denominador da fração.



Quando o expoente é um número negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do expoente para positivo.




Uma importante aplicação de potenciação é a notação científica, usada para expressar valores muito grandes ou muito pequenos. A notação é usada por cientistas, como astrônomos, físicos, biólogos, químicos entre outros.

Exemplos: 
6 120 000, podemos representá-lo usando a seguinte notação decimal 6,12 * 10⁶

0,00012, pode ser representado por 1,2 * 10^-4.

Por Marcos Noé